一. 隨機誤差的正態(tài)分布

  1. 正態(tài)分布

      隨機誤差的規(guī)律服從正態(tài)分布規(guī)律，可用正態(tài)分布曲線（高斯分布的正態(tài)概率密度函數(shù)）表示：

              (13)

式中：y —概率密度；  m—總體平均值；s —總體標(biāo)準(zhǔn)偏差。

正態(tài)分布曲線依賴于m 和s 兩個基本參數(shù)，曲線隨m 和s 的不同而不同。為簡便起見，使用一個新變數(shù)（u）來表達誤差分布函數(shù)式：

                         (14)

u的涵義是：偏差值（x-m）以標(biāo)準(zhǔn)偏差為單位來表示。

變換后的函數(shù)式為：

                (15)

由此繪制的曲線稱為“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線” 。因為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線橫坐標(biāo)是以s 為單位，所以對于不同的測定值 m 及s ，都是適用的。

圖1：兩組精密度不同的測定值            圖2：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線  

的正態(tài)分布曲線

“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線”清楚地反映了隨機誤差的分布性質(zhì)：

（1）集中趨勢   當(dāng) x=m 時（u=0），，y此時最大，說明測定值x集中在 m 附近，或者說，m 是最可信賴值。

（2）對稱趨勢   曲線以 x=m 這一直線為對稱軸，表明：

     正負誤差出現(xiàn)的概率相等。大誤差出現(xiàn)的概率小，小誤差出現(xiàn)的概率大；很大誤差出現(xiàn)的概率極小。在無限多次測定時，誤差的算術(shù)平均值極限為 0 。

（3）總概率   曲線與橫坐標(biāo)從-µ 到 + µ 在之間所包圍的面積代表具有各種大小誤差的測定值出現(xiàn)的概率的總和，其值為1（100%）

             (16)

    用數(shù)理統(tǒng)計方法可以證明并求出測定值 x 出現(xiàn)在不同 u 區(qū)間的概率(不同 u 值時所占的面積)即 x 落在 m± us 區(qū)間的概率： 

                                 置信區(qū)間          置信概率

         u = ± 1.00              x = m ± 1.00 s          68.3%

         u = ± 1.96              x = m ± 1.96 s          95.0%

         u = ± 3.00              x = m ± 3.00 s          99.7%

二. 有限數(shù)據(jù)隨機誤差的 t 分布

    在實際測定中，測定次數(shù)是有限的，只有和S，此時則用能合理地處理少量實驗數(shù)據(jù)的方法—t 分布

 1. t 分布曲線 （實際測定中，用 、S 代替m、s）

   t 分布曲線與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線相似，縱坐標(biāo)仍為概率密度，縱坐標(biāo)則是新的統(tǒng)計量t

                   （17）

無限次測定，u一定 ®  P  就一定；

有限次測定：t 一定 ®  P  隨 n (自由度)不同而不同。

    不同的 n 值及概率所對應(yīng)的t值，已有統(tǒng)計學(xué)家計算出來，可由有關(guān)表中查出。

 2. 平均值的置信區(qū)間

應(yīng)用t分布估計真值范圍，考慮的符號時，則可得到如下關(guān)系式：

m = x ± t_P,n S              （18）

同樣，對于樣本平均值也存在類似的關(guān)系式：

          （19）

此式表示的是在一定概率下，以樣本平均值為中心的包括真值在內(nèi)的取值范圍，即平均值的置信區(qū)間。 稱為置信區(qū)間界限。

    此式表明：平均值與真值的關(guān)系，即說明平均值的可靠性。

    平均值的置信區(qū)間取決于測定的精密度、測定次數(shù)和置信水平（概率）。(分析工作中常規(guī)定為 95%)

測定精密度越高（S小），測定次數(shù)越多（n大），置信區(qū)間則越小，即平均值越準(zhǔn)確。